Родился 22 января 1936 года в с. Новая Усмань Новоусманского района Воронежской области.
В 1946 году после демобилизации отца, ветерана Великой Отечественной войны, семья переехала на постоянное место жительства в г. Даугавпилс Латвийской ССР. Здесь Анатолий Иванович закончил среднюю школу рабочей молодежи и начал свою трудовую деятельность учетчиком тракторной бригады.
В 1955 году А.И. Целиковский инициативно обратился в отдел министерства безопасности г. Даугавпилса, куда и был принят на службу и направлен на учебу. После обучения был назначен оперуполномоченным в Краславское районное отделение, затем в отдел г. Даугавпилса.
В 1960 году Целиковский А.И. уволен из органов безопасности по причине значительного сокращения штатов в рамках реформирования правоохранительных органов и вооруженных сил.
В 1964 году, закончив Ленинградский ордена Боевого Красного Знамени военно-механический институт, получил специальность «инженер-механик по летательным аппаратам».
В 1965 году А.И. Целиковский вновь принят на службу в УКГБ СССР по Калининградской области.
С 1987 по 1992 год он являлся начальником Управления КГБ СССР по Мурманской области.
Награжден орденом Красной Звезды, медалью «За боевые заслуги», знаком «Почетный сотрудник органов безопасности».
Оптимизация статьи - промышленный портал Мурманской области